第一章 数学分析
极限 · 连续 · 导数 · 积分 · 级数
数学分析
一、极限
1. 数列极限
- 定义：∀ε>0，∃N∈N+，当n>N时，|aₙ-a|<ε
- 性质：唯一性、有界性、保号性
2. 函数极限
- x→x₀ 时的极限定义（ε-δ语言）
- x→∞ 时的极限定义（ε-X语言）
- 左极限、右极限：极限存在 ⇔ 左右极限存在且相等
3. 极限的计算（重点）
① 等价无穷小替换（x→0时）：
sin x ~ x tan x ~ x
arcsin x ~ x arctan x ~ x
eˣ - 1 ~ x ln(1+x) ~ x
1 - cos x ~ x²/2
(1+x)ᵅ - 1 ~ αx
注意：等价无穷小只能在乘除运算中替换，加减运算谨慎使用。
② 两个重要极限：
lim(x→0) sin x / x = 1
lim(x→∞) (1 + 1/x)ˣ = e （1^∞ 型）
③ 洛必达法则：
- 适用于 0/0 型 或 ∞/∞ 型
- lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x) （右端极限存在时）
- 可多次使用，但每次使用前必须验证是否为 0/0 或 ∞/∞
④ 其他方法：因式分解、有理化、通分、变量替换、泰勒公式
4. 无穷小的比较
- 高阶无穷小：lim α/β = 0
- 低阶无穷小：lim α/β = ∞
- 同阶无穷小：lim α/β = C ≠ 0
- 等价无穷小：lim α/β = 1
⚠️ 易错点
- 洛必达法则使用前必须验证是否为 0/0 或 ∞/∞ 型
- 数列极限不能直接用洛必达，需先转化为函数极限
- 等价无穷小在加减法中不能随意替换
二、函数的连续性
- 连续定义：lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)
- 间断点分类：
- 第一类间断点：左右极限都存在（可去间断点、跳跃间断点）
- 第二类间断点：左右极限至少一个不存在（无穷间断点、振荡间断点）
- 闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、介值定理、零点存在定理
三、导数与微分
1. 导数定义
f'(x₀) = lim(Δx→0) [f(x₀+Δx) - f(x₀)] / Δx
f'(x₀) = lim(x→x₀) [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀)
- 左导数、右导数：可导 ⇔ 左右导数存在且相等
- 可导 ⇒ 连续；连续 ≠ 可导
2. 求导公式（熟记）
(C)' = 0 (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹
(sin x)' = cos x (cos x)' = -sin x
(tan x)' = sec²x (cot x)' = -csc²x
(eˣ)' = eˣ (aˣ)' = aˣ ln a
(ln x)' = 1/x (logₐx)' = 1/(x ln a)
(arcsin x)' = 1/√(1-x²) (arccos x)' = -1/√(1-x²)
(arctan x)' = 1/(1+x²)
3. 求导法则
- 四则运算：(u±v)' = u'±v'，(uv)' = u'v + uv'，(u/v)' = (u'v-uv')/v²
- 复合函数求导（链式法则）：dy/dx = dy/du · du/dx
- 隐函数求导：两边对x求导，解出y'
- 参数方程求导：dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
4. 微分中值定理
- 罗尔定理：f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，f(a)=f(b)，则∃ξ∈(a,b)，f'(ξ)=0
- 拉格朗日中值定理：f(b)-f(a) = f'(ξ)(b-a)
- 柯西中值定理：[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] = f'(ξ)/g'(ξ)
5. 导数的应用
- 单调性：f'(x) > 0 ⇒ 单调递增；f'(x) < 0 ⇒ 单调递减
- 极值：一阶导数变号 或 二阶导数不为零
- 凹凸性：f''(x) > 0 ⇒ 凹函数；f''(x) < 0 ⇒ 凸函数
- 拐点：二阶导数变号的点
四、不定积分
1. 基本积分公式
∫k dx = kx + C
∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n≠-1)
∫1/x dx = ln|x| + C
∫eˣ dx = eˣ + C
∫sin x dx = -cos x + C
∫cos x dx = sin x + C
∫sec²x dx = tan x + C
∫csc²x dx = -cot x + C
∫1/(1+x²) dx = arctan x + C
∫1/√(1-x²) dx = arcsin x + C
2. 积分方法
- 第一类换元法（凑微分）：∫f(φ(x))φ'(x)dx = ∫f(u)du
- 第二类换元法：三角代换、根式代换、倒代换
- 分部积分法：∫u dv = uv - ∫v du
五、定积分
- 牛顿-莱布尼茨公式：∫(a→b) f(x)dx = F(b) - F(a)
- 性质：线性性、可加性、比较性质、估值定理、积分中值定理
- 变上限积分求导：d/dx ∫(a→φ(x)) f(t)dt = f(φ(x))·φ'(x)
- 奇偶函数在对称区间上的积分：
- 奇函数：∫(-a→a) f(x)dx = 0
- 偶函数：∫(-a→a) f(x)dx = 2∫(0→a) f(x)dx
六、级数
- 级数收敛的必要条件：lim(n→∞) aₙ = 0
- 正项级数审敛法：比较审敛法、比值审敛法（达朗贝尔）、根值审敛法
- 交错级数：莱布尼茨判别法
- 绝对收敛与条件收敛
- 幂级数：收敛半径、收敛区间、收敛域
⭐ 高频考点
- 极限计算（等价无穷小+洛必达，几乎必考）
- 导数的几何意义（切线方程）
- 不定积分与定积分计算
- 变上限积分求导
- 利用导数判断单调性与极值
第二章 高等代数
行列式 · 矩阵 · 线性方程组 · 向量空间 · 特征值
高等代数
一、行列式
1. 行列式的定义与性质
- 二阶行列式：|a b; c d| = ad - bc
- 三阶行列式：对角线法则（仅适用于2、3阶）
- n阶行列式：∑(-1)^τ a₁j₁a₂j₂…aₙjₙ
2. 行列式的性质
- 转置行列式值不变：|Aᵀ| = |A|
- 互换两行（列），行列式变号
- 两行（列）相同，行列式为0
- 某行（列）有公因子k，可提出：|kA| = kⁿ|A|（n阶）
- 某行（列）元素为两数之和，可拆成两个行列式之和
- 某行（列）的k倍加到另一行（列），行列式值不变
3. 行列式按行（列）展开
|A| = aᵢ₁Aᵢ₁ + aᵢ₂Aᵢ₂ + … + aᵢₙAᵢₙ （按第i行展开）
其中 Aᵢⱼ = (-1)ⁱ⁺ʲ Mᵢⱼ 为代数余子式
4. 常用行列式
- 上（下）三角行列式 = 主对角线元素乘积
- 对角行列式 = 主对角线元素乘积
- 范德蒙德行列式：∏(xᵢ - xⱼ) （i > j）
二、矩阵
1. 矩阵的运算
- 加法：对应元素相加（同型矩阵才能相加）
- 数乘：每个元素都乘以k
- 乘法：左行乘右列，结果的元素 cᵢⱼ = ∑aᵢₖbₖⱼ
- 注意：AB ≠ BA（矩阵乘法不满足交换律）
- 转置：(AB)ᵀ = BᵀAᵀ
2. 逆矩阵
- 定义：AB = BA = E，则 B = A⁻¹
- 可逆条件：|A| ≠ 0（非奇异矩阵）
- 求法1：伴随矩阵法 A⁻¹ = A*/|A|
- 求法2：初等行变换法 (A|E) → (E|A⁻¹)
- 性质：(A⁻¹)⁻¹ = A，(AB)⁻¹ = B⁻¹A⁻¹，(Aᵀ)⁻¹ = (A⁻¹)ᵀ
3. 矩阵的秩
- 定义：矩阵中非零子式的最高阶数
- 求法：初等行变换化为阶梯形，非零行数即为秩
- 性质：
- r(A) ≤ min(m, n)
- r(Aᵀ) = r(A)
- r(AB) ≤ min(r(A), r(B))
- r(A+B) ≤ r(A) + r(B)
4. 初等变换
- 交换两行（列）
- 以非零数k乘某一行（列）
- 某行（列）的k倍加到另一行（列）
- 初等变换不改变矩阵的秩
三、线性方程组
1. 齐次线性方程组 Ax = 0
- 总有零解
- 有非零解 ⇔ r(A) < n（n为未知数个数）
- 基础解系含 n - r(A) 个线性无关的解向量
- 通解：基础解系的线性组合
2. 非齐次线性方程组 Ax = b
- 有解 ⇔ r(A) = r(A|b)
- 唯一解 ⇔ r(A) = r(A|b) = n
- 无穷多解 ⇔ r(A) = r(A|b) < n
- 无解 ⇔ r(A) ≠ r(A|b)
- 通解 = 特解 + 对应齐次方程组的通解
⭐ 高频考点
- 行列式计算（3、4阶为主）
- 矩阵的运算（乘法、转置、逆）
- 矩阵秩的求法与性质
- 线性方程组解的判定与求解
- 特征值与特征向量的计算
四、向量空间
- 线性组合与线性表示
- 线性相关与线性无关
- 定义：存在不全为零的数 k₁,…,kₛ 使 k₁α₁+…+kₛαₛ=0
- 判别：向量组构成的矩阵的秩 < 向量个数 ⇒ 线性相关
- 极大线性无关组与向量组的秩
五、特征值与特征向量
- 定义：Ax = λx（x ≠ 0），λ为特征值，x为特征向量
- 求法：解特征方程 |λE - A| = 0
- 性质：
- ∑λᵢ = ∑aᵢᵢ = tr(A)（迹）
- ∏λᵢ = |A|
- 不同特征值对应的特征向量线性无关
- 矩阵对角化：A可对角化 ⇔ A有n个线性无关的特征向量
第三章 空间解析几何
向量代数 · 平面与直线 · 曲面与空间曲线
空间解析几何
一、向量代数
1. 向量的概念
- 向量：既有大小又有方向的量
- 模：向量的大小 |a|
- 单位向量：模为1的向量
- 坐标表示：a = (a₁, a₂, a₃) = a₁i + a₂j + a₃k
- 模：|a| = √(a₁² + a₂² + a₃²)
2. 向量的运算
① 数量积（点积、内积）：
a · b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃
结果是一个数
- a ⊥ b ⇔ a · b = 0
- 投影：Prjᵦa = a · b/|b|
② 向量积（叉积、外积）：
a × b 的模：|a × b| = |a||b|sinθ
a × b 的方向：右手定则，垂直于a和b
坐标形式：
a × b = |i j k|
|a₁ a₂ a₃|
|b₁ b₂ b₃|
- a × b = -b × a（反交换律）
- a // b ⇔ a × b = 0
- |a × b| = 以a,b为邻边的平行四边形面积
③ 混合积：
(a, b, c) = (a × b) · c
= |a₁ a₂ a₃|
|b₁ b₂ b₃|
|c₁ c₂ c₃|
- 几何意义：平行六面体的体积
- 三向量共面 ⇔ 混合积 = 0
二、平面
1. 平面方程
- 点法式：A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0
法向量 n = (A, B, C)，过点 (x₀, y₀, z₀)
- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0
法向量 n = (A, B, C)
- 截距式：x/a + y/b + z/c = 1
2. 两平面的位置关系
- 平行：n₁ // n₂（法向量平行）
- 垂直：n₁ ⊥ n₂ ⇔ n₁ · n₂ = 0
- 夹角：cosθ = |n₁ · n₂| / (|n₁||n₂|)
3. 点到平面的距离
点 P(x₀,y₀,z₀) 到平面 Ax+By+Cz+D=0 的距离：
d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A²+B²+C²)
三、空间直线
1. 直线方程
- 对称式（点向式）：(x-x₀)/m = (y-y₀)/n = (z-z₀)/p
方向向量 s = (m, n, p)，过点 (x₀, y₀, z₀)
- 参数式：x = x₀ + mt，y = y₀ + nt，z = z₀ + pt
- 一般式：两平面交线
2. 两直线的位置关系
- 平行：s₁ // s₂
- 垂直：s₁ ⊥ s₂ ⇔ s₁ · s₂ = 0
- 异面：方向向量不平行，且不共面
3. 直线与平面的位置关系
- 平行：s ⊥ n ⇔ s · n = 0
- 垂直：s // n
- 夹角：sinφ = |s · n| / (|s||n|)
四、曲面与空间曲线
- 球面：(x-x₀)² + (y-y₀)² + (z-z₀)² = R²
- 柱面：缺少一个变量（如 x²+y²=R² 为圆柱面）
- 旋转曲面：绕某坐标轴旋转生成
- 二次曲面：椭球面、抛物面、双曲面（了解即可）
⭐ 高频考点
- 向量的数量积与向量积
- 平面方程（点法式）
- 直线方程（对称式）
- 点到平面的距离
- 平面与直线的位置关系
第四章 概率论与数理统计
随机事件 · 随机变量 · 数字特征 · 参数估计
概率论
一、随机事件与概率
1. 事件的关系与运算
- 包含、相等、并（和）、交（积）、差、互斥、对立
- 德摩根律：A∪B 的对立 = A对立 ∩ B对立
2. 概率的定义与性质
- 非负性、规范性、可列可加性
- P(∅) = 0
- P(Ā) = 1 - P(A)
- 加法公式：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(AB)
- 减法公式：P(A-B) = P(A) - P(AB)
3. 古典概型
P(A) = A包含的基本事件数 / 基本事件总数
4. 条件概率与乘法公式
P(B|A) = P(AB) / P(A) （P(A) > 0）
P(AB) = P(A)·P(B|A)
5. 全概率公式与贝叶斯公式
全概率公式：
P(B) = ∑P(Aᵢ)·P(B|Aᵢ)
贝叶斯公式：
P(Aⱼ|B) = P(Aⱼ)·P(B|Aⱼ) / ∑P(Aᵢ)·P(B|Aᵢ)
6. 事件的独立性
- 定义：P(AB) = P(A)·P(B)
- 独立 ⇒ P(B|A) = P(B)
二、随机变量及其分布
1. 离散型随机变量
- 分布律：P{X=xᵢ} = pᵢ，i=1,2,…
- 性质：pᵢ ≥ 0，∑pᵢ = 1
2. 常见离散型分布
- 0-1分布：P{X=1}=p，P{X=0}=1-p
- 二项分布 B(n,p)：P{X=k} = C(n,k)pᵏ(1-p)ⁿ⁻ᵏ
n次独立重复试验中事件A发生的次数
- 泊松分布 P(λ)：P{X=k} = λᵏe⁻λ/k!，k=0,1,2,…
- 泊松定理：n很大p很小时，二项分布近似泊松分布（λ=np）
3. 连续型随机变量
- 概率密度 f(x)：f(x) ≥ 0，∫(-∞→+∞) f(x)dx = 1
- 分布函数 F(x) = P{X ≤ x} = ∫(-∞→x) f(t)dt
- F'(x) = f(x)（在f(x)连续点处）
- P{a < X ≤ b} = F(b) - F(a) = ∫(a→b) f(x)dx
4. 常见连续型分布
- 均匀分布 U(a,b)：f(x) = 1/(b-a)，a < x < b
- 指数分布 E(λ)：f(x) = λe⁻λˣ，x > 0；无记忆性
- 正态分布 N(μ, σ²)：
- f(x) = 1/(√(2π)σ) · e^(-(x-μ)²/(2σ²))
- 标准正态分布 Z ~ N(0,1)
- 标准化：若 X ~ N(μ,σ²)，则 Z = (X-μ)/σ ~ N(0,1)
- Φ(-x) = 1 - Φ(x)
三、随机变量的数字特征
1. 数学期望（均值）
离散型：E(X) = ∑xᵢpᵢ
连续型：E(X) = ∫(-∞→+∞) x·f(x)dx
性质：
E(C) = C E(CX) = C·E(X)
E(X±Y) = E(X) ± E(Y)
X,Y独立 ⇒ E(XY) = E(X)·E(Y)
2. 方差
D(X) = E[(X-E(X))²] = E(X²) - [E(X)]²
性质：
D(C) = 0 D(CX) = C²·D(X)
X,Y独立 ⇒ D(X±Y) = D(X) + D(Y)
3. 常见分布的期望与方差
| 分布 | 期望 E(X) | 方差 D(X) |
|---|
| 0-1分布 | p | p(1-p) |
| 二项分布 B(n,p) | np | np(1-p) |
| 泊松分布 P(λ) | λ | λ |
| 均匀分布 U(a,b) | (a+b)/2 | (b-a)²/12 |
| 指数分布 E(λ) | 1/λ | 1/λ² |
| 正态分布 N(μ,σ²) | μ | σ² |
4. 协方差与相关系数
协方差：Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)
相关系数：ρ = Cov(X,Y) / (√D(X)·√D(Y))
|ρ| ≤ 1，ρ=±1 表示完全线性相关
四、数理统计基础
- 总体、样本、统计量
- 常用统计量：样本均值、样本方差、样本标准差
- 三大抽样分布：χ²分布、t分布、F分布（了解定义）
- 参数估计：点估计（矩估计、极大似然估计）、区间估计
⭐ 高频考点
- 全概率公式与贝叶斯公式
- 正态分布的概率计算（标准化）
- 期望与方差的计算及性质
- 常见分布的期望与方差
- 条件概率与独立性