一、空间几何体
1. 多面体与旋转体的结构特征
（1）棱柱
有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。
| 分类标准 | 名称 | 特征 |
|---|
| 底面边数 | 三棱柱、四棱柱、五棱柱… | 底面为三角形、四边形… |
| 侧棱与底面 | 直棱柱 | 侧棱垂直于底面 |
| 斜棱柱 | 侧棱不垂直于底面 |
| 底面形状 | 正棱柱 | 底面是正多边形的直棱柱 |
| 平行六面体 | 底面是平行四边形的棱柱 |
⭐ 核心性质
① 侧棱都相等，侧面是平行四边形
② 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形
③ 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形
（2）棱锥
有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。
- 正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面中心
- 正棱锥的侧棱都相等，侧面是全等的等腰三角形
（3）棱台
用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台。
❌ 易错点
棱台只能由
平行于底面的平面截棱锥得到，否则得到的是不规则几何体。
棱台的侧棱延长后
交于一点（即原棱锥的顶点）。
（4）圆柱、圆锥、圆台、球
| 旋转体 | 旋转轴 | 母线 | 底面 |
|---|
| 圆柱 | 矩形的一边 | 垂直于轴的边旋转 | 平行于轴的对边旋转 |
| 圆锥 | 直角三角形一直角边 | 斜边 | 另一直角边旋转 |
| 圆台 | 直角梯形垂直于底边的腰 | 斜腰 | 两底边 |
| 球 | 半圆的直径 | — | — |
💡 记忆口诀
棱柱棱锥和棱台，侧面形状记心怀：
棱柱侧面是平行四边形，棱锥侧面是三角形，
棱台侧面是梯形，旋转体里看母线。
2. 三视图
三视图：正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图。
⭐ 三视图原则
长对正（正视图与俯视图长度相等）
高平齐（正视图与侧视图高度相等）
宽相等（俯视图与侧视图宽度相等）
画三视图时，可见轮廓线用实线，不可见轮廓线用虚线。
3. 直观图（斜二测画法）
斜二测画法是画空间几何体直观图的一种常用方法。
斜二测画法规则：
① 水平线段长度不变，竖直线段变为原来的一半
② 水平方向夹角不变（x' 轴与 y' 轴夹角为 45° 或 135°）
③ 平行关系保持不变
④ 平行于坐标轴的线段仍平行于对应轴
面积关系： 直观图面积 S' 与原图形面积 S 满足 S' = (√2/4) · S
4. 空间几何体的表面积与体积
（1）多面体的表面积
多面体的表面积等于各个面的面积之和（展开图法）。
正棱锥的侧面积：S侧 = ½ · C · h'（C 为底面周长，h' 为斜高）
（2）旋转体的表面积
| 旋转体 | 侧面积 | 表面积 |
|---|
| 圆柱 | S侧 = 2πrl | S = 2πr(r + l) |
| 圆锥 | S侧 = πrl | S = πr(r + l) |
| 圆台 | S侧 = π(r + r')l | S = π(r² + r'² + rl + r'l) |
| 球 | — | S = 4πR² |
（注：r 为底面半径，l 为母线长，R 为球半径）
（3）体积公式
| 几何体 | 体积公式 |
|---|
| 棱柱 / 圆柱 | V = Sh（S 为底面积，h 为高） |
| 棱锥 / 圆锥 | V = ⅓ Sh |
| 棱台 / 圆台 | V = ⅓ h (S + S' + √(SS'))（S、S' 分别为上下底面积） |
| 球 | V = ⁴⁄₃ πR³ |
🔥 高频考点
① 三视图还原几何体 → 求表面积或体积（常考）
② 球与多面体的切接问题（外接球、内切球半径求法）
③ 割补法求体积（不规则几何体转化为规则几何体）
📝 例题 - 三视图还原求体积
某几何体的三视图如图所示（正视图和侧视图均为边长为 2 的正三角形，俯视图为半径为 1 的圆），求该几何体的体积。
由三视图还原可知该几何体为圆锥，底面半径 r = 1，高 h = √3
V = ⅓ πr²h = ⅓ × π × 1 × √3 = (√3/3)π
💡 记忆口诀
柱体体积底乘高，锥体体积三分一，
台体体积上下加，乘高除以三来记，
球体体积三分四，半径立方乘π。
二、空间点、线、面的位置关系
1. 四个公理
| 公理 | 内容 | 作用 |
|---|
| 公理1 | 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 | 判断直线在平面内 |
| 公理2 | 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 | 确定平面 |
| 公理3 | 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 | 判断两平面相交 |
| 公理4 | 平行于同一条直线的两条直线互相平行 | 平行传递性 |
⭐ 公理2的三个推论
推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面
2. 空间两条直线的位置关系
| 位置关系 | 定义 | 图示特征 |
|---|
| 平行 | 在同一平面内，没有公共点 | 共面，无交点 |
| 相交 | 在同一平面内，有且只有一个公共点 | 共面，一个交点 |
| 异面 | 不同在任何一个平面内，没有公共点 | 不共面，无交点 |
❌ 易错点
"不同在任何一个平面内" ≠ "不在同一个平面内"。
两条直线没有公共点→可能是平行或异面，
不能直接说是平行。
3. 空间直线与平面的位置关系
| 位置关系 | 公共点个数 |
|---|
| 直线在平面内 | 无数个公共点 |
| 直线与平面相交 | 1 个公共点 |
| 直线与平面平行 | 0 个公共点 |
4. 空间两个平面的位置关系
| 位置关系 | 公共点个数 |
|---|
| 平行 | 0 个公共点 |
| 相交 | 一条公共直线（无数个公共点） |
5. 空间角
（1）异面直线所成的角
过空间任意一点，分别作两条异面直线的平行线，这两条平行线所成的锐角（或直角）叫做异面直线所成的角。
范围：θ ∈ (0°, 90°] 或 (0, π/2]
求法：平移法（将两条异面直线平移至相交）→ 构造三角形 → 解三角形求角
🔥 高频考点
当异面直线所成角为 90° 时，称两条异面直线
互相垂直。
（2）直线与平面所成的角（线面角）
直线与它在平面内的射影所成的角，叫做直线与平面所成的角。
范围：θ ∈ [0°, 90°] 或 [0, π/2]
θ = 0° → 直线在平面内或与平面平行
θ = 90° → 直线与平面垂直
（3）二面角
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，两个半平面叫做二面角的面。
二面角的平面角：在棱上任取一点，分别在两个半平面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角。
范围：θ ∈ [0°, 180°] 或 [0, π]
θ = 90° → 直二面角（两平面垂直）
❌ 易错点
二面角的平面角必须满足：
顶点在棱上，两边分别在两个面内，且两边都与棱垂直。
不要误将两个半平面内的任意角当成二面角的平面角！
三、平行关系
1. 直线与平面平行的判定与性质
判定定理
线面平行判定定理：平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。
符号：a ∥ b，a ⊄ α，b ⊂ α ⇒ a ∥ α
性质定理
线面平行性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
符号：a ∥ α，a ⊂ β，α ∩ β = b ⇒ a ∥ b
📝 例题 - 线面平行的证明
已知：在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形，E 为 PD 的中点，求证：PB ∥ 平面 AEC。
连接 BD 交 AC 于 O，连接 EO
∵ 底面 ABCD 为平行四边形，O 为 BD 中点
又 ∵ E 为 PD 中点，∴ EO 为 △PBD 的中位线
∴ EO ∥ PB
∵ EO ⊂ 平面 AEC，PB ⊄ 平面 AEC
∴ PB ∥ 平面 AEC（线面平行判定定理）
2. 平面与平面平行的判定与性质
判定定理
面面平行判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
符号：a ∩ b = P，a ⊂ β，b ⊂ β，a ∥ α，b ∥ α ⇒ α ∥ β
⭐ 补充判定
① 垂直于同一条直线的两个平面平行
② 平行于同一个平面的两个平面平行（传递性）
性质定理
面面平行性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。
符号：α ∥ β，α ∩ γ = a，β ∩ γ = b ⇒ a ∥ b
3. 平行关系的转化
平行关系转化链：
线线平行 ⇌ 线面平行 ⇌ 面面平行
（判定定理从左到右，性质定理从右到左）
💡 记忆口诀
线面平行找线线，面面平行找相交，
判定定理方向下，性质定理方向上。
四、垂直关系
1. 直线与平面垂直的判定与性质
定义
如果直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直，就说直线 l 与平面 α 互相垂直，记作 l ⊥ α。
判定定理
线面垂直判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
符号：l ⊥ a，l ⊥ b，a ∩ b = P，a ⊂ α，b ⊂ α ⇒ l ⊥ α
❌ 易错点
判定定理中的两条直线必须
相交！若两条直线平行，则不能判断线面垂直。
例如：l 垂直于平面内两条平行直线，l 可能只是与平面斜交。
性质定理
线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号：a ⊥ α，b ⊥ α ⇒ a ∥ b
2. 平面与平面垂直的判定与性质
定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
判定定理
面面垂直判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
符号：l ⊥ α，l ⊂ β ⇒ α ⊥ β
性质定理
面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号：α ⊥ β，α ∩ β = l，a ⊂ α，a ⊥ l ⇒ a ⊥ β
3. 垂直关系的转化
垂直关系转化链：
线线垂直 ⇌ 线面垂直 ⇌ 面面垂直
（判定定理从左到右，性质定理从右到左）
4. 三垂线定理
三垂线定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
三垂线定理的逆定理：平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。
⭐ 三垂线定理的关键
① 找平面的垂线（确定斜足和垂足）
② 找斜线的射影（垂足与斜足的连线）
③ 判断平面内直线与射影（或斜线）的垂直关系
📝 例题 - 三垂线定理的应用
在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，求证：AC₁ ⊥ 平面 A₁BD。
∵ 正方体，∴ CC₁ ⊥ 平面 ABCD
∴ AC 是 AC₁ 在平面 ABCD 上的射影
∵ 四边形 ABCD 是正方形，BD ⊥ AC
∴ 由三垂线定理，BD ⊥ AC₁
同理可证 A₁B ⊥ AC₁（利用 BC₁ 在平面 ABB₁A₁ 上的射影 AB）
∵ BD ∩ A₁B = B，BD、A₁B ⊂ 平面 A₁BD
∴ AC₁ ⊥ 平面 A₁BD
五、空间角与距离的计算
1. 空间距离的类型
| 距离类型 | 定义 |
|---|
| 异面直线距离 | 两条异面直线的公垂线段的长度 |
| 点到平面的距离 | 从点向平面作垂线，垂线段的长度 |
| 直线到平面的距离 | 直线上的任意一点到平面的距离（线面平行时） |
| 平行平面间的距离 | 其中一个平面上的任意一点到另一平面的距离 |
2. 求点到平面距离的常用方法
- 直接法：过点作平面的垂线，求垂线段长度
- 等体积法：利用三棱锥的体积不变性，换顶点求高
- 向量法：利用平面的法向量和点的坐标计算
3. 等体积法求距离
等体积法原理：对于三棱锥 V，体积 V = ⅓ · S · h
通过变换顶点，列出方程求解距离 h = 3V / S
🔥 高频考点
等体积法是求点到平面距离的
最优方法，尤其适用于：
① 三棱锥中某个顶点到对面平面的距离
② 不易直接作出垂线的情况
③ 结合体积公式和面积公式求解
📝 例题 - 等体积法求距离
在正方体 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 中，棱长为 2，求点 A₁ 到平面 AB₁D₁ 的距离。
方法：等体积法
三棱锥 A₁-AB₁D₁ 的体积：
V = ⅓ × S(△AB₁D₁) × h（h 为所求距离）
换顶点：V = ⅓ × S(△A₁B₁D₁) × AA₁ = ⅓ × ½ × 2 × 2 × 2 = 4/3
△AB₁D₁ 为等边三角形，边长 = 2√2
S(△AB₁D₁) = (√3/4) × (2√2)² = 2√3
∴ 4/3 = ⅓ × 2√3 × h ⇒ h = 2/√3 = 2√3/3
4. 空间角的综合计算
| 空间角类型 | 范围 | 常用求法 |
|---|
| 异面直线所成角 | (0°, 90°] | 平移法 → 解三角形；向量法 |
| 线面角 | [0°, 90°] | 找射影 → 解三角形；向量法（sinθ = |cos⟨v, n⟩|） |
| 二面角 | [0°, 180°] | 定义法、垂面法、三垂线法；向量法（法向量夹角） |
💡 记忆口诀
空间角，三种类，范围求法各不同：
异面平移找锐角，线面射影找夹角，
二面棱上作垂线，向量法里最通用。
⭐ 向量法求空间角总结
异面直线所成角：cosθ = |a·b| / (|a|·|b|)
线面角：sinθ = |a·n| / (|a|·|n|)（n 为平面法向量）
二面角：cosθ = (n₁·n₂) / (|n₁|·|n₂|)（注意判断锐角或钝角）
❌ 易错点
① 异面直线所成角取
锐角或直角，若余弦值为负，取绝对值
② 线面角的正弦值 = 方向向量与法向量夹角的余弦的绝对值
③ 二面角需根据图形判断是锐角还是钝角，不能直接用法向量夹角
一、直线与方程
1. 直线的倾斜角与斜率
倾斜角：直线向上的方向与 x 轴正方向所成的最小正角，记作 α，范围 [0, π)。
斜率：倾斜角不为 π/2 时，k = tan α。
过两点的斜率公式：
已知 P1(x1, y1)，P2(x2, y2) (x1 ≠ x2)
k = (y2 - y1) / (x2 - x1)
易错点
当 α = π/2 时，直线垂直于 x 轴，斜率
不存在。
当 α = 0 时，k = 0，直线平行于 x 轴。
2. 直线方程的五种形式
| 名称 | 方程形式 | 适用范围 |
|---|
| 点斜式 | y - y0 = k(x - x0) | 斜率存在 |
| 斜截式 | y = kx + b | 斜率存在 |
| 两点式 | (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1) | x1 ≠ x2 且 y1 ≠ y2 |
| 截距式 | x / a + y / b = 1 | a ≠ 0, b ≠ 0 |
| 一般式 | Ax + By + C = 0 (A² + B² ≠ 0) | 所有直线 |
重点
一般式 Ax + By + C = 0 中：
B ≠ 0 时，斜率 k = -A/B；B = 0 时，直线垂直于 x 轴。
3. 两直线平行与垂直
设 l1: y = k1x + b1，l2: y = k2x + b2
平行：k1 = k2 且 b1 ≠ b2
垂直：k1 · k2 = -1
一般式形式：l1: A1x + B1y + C1 = 0，l2: A2x + B2y + C2 = 0
平行：A1B2 = A2B1 且 A1C2 ≠ A2C1
垂直：A1A2 + B1B2 = 0
易错点
判断两直线平行时，
必须排除重合的情况（即还需检验截距不相等）。
若两条直线斜率都不存在，则它们平行或重合。
4. 距离公式
（1）点到直线的距离
点 P(x0, y0) 到直线 Ax + By + C = 0 的距离：
d = |Ax0 + By0 + C| / √(A² + B²)
（2）两平行线间的距离
两平行线 Ax + By + C1 = 0 与 Ax + By + C2 = 0 的距离：
d = |C1 - C2| / √(A² + B²)
高频考点
距离公式是教师招聘考试的常考内容，注意公式中
绝对值的处理。
两平行线距离公式要求两直线
A、B 系数相同。
例题
求点 P(1, 2) 到直线 l: 3x + 4y - 5 = 0 的距离。
d = |3×1 + 4×2 - 5| / √(3² + 4²)
= |3 + 8 - 5| / 5 = 6/5
二、圆与方程
1. 圆的标准方程与一般方程
标准方程：(x - a)² + (y - b)² = r²
圆心 C(a, b)，半径 r (r > 0)
一般方程：x² + y² + Dx + Ey + F = 0
其中 D² + E² - 4F > 0
圆心 (-D/2, -E/2)，半径 r = √(D² + E² - 4F) / 2
记忆口诀
圆的一般式配方：
"x 半 D 方，y 半 E 方，常数移到右，开方得半径"
2. 点与圆的位置关系
设点 P(x0, y0)，圆 (x - a)² + (y - b)² = r²
d² = (x0 - a)² + (y0 - b)²
d > r ⇒ 点在圆外
d = r ⇒ 点在圆上
d < r ⇒ 点在圆内
3. 直线与圆的位置关系
设圆心到直线的距离为 d，圆的半径为 r
| 位置关系 | 条件 | 交点个数 |
|---|
| 相交 | d < r | 2 个 |
| 相切 | d = r | 1 个 |
| 相离 | d > r | 0 个 |
重点
判断直线与圆的位置关系有两种方法：
①
几何法（比较 d 与 r）— 更简洁，推荐使用
②
代数法（联立后看 Δ）
4. 圆与圆的位置关系
设两圆圆心距为 d，半径分别为 r1、r2 (r1 ≥ r2)
| 位置关系 | 条件 | 公切线数 |
|---|
| 外离 | d > r1 + r2 | 4 条 |
| 外切 | d = r1 + r2 | 3 条 |
| 相交 | |r1 - r2| < d < r1 + r2 | 2 条 |
| 内切 | d = |r1 - r2| | 1 条 |
| 内含 | d < |r1 - r2| | 0 条 |
5. 弦长公式
直线与圆相交的弦长：
弦长 = 2 · √(r² - d²)
（其中 d 为圆心到直线的距离）
高频考点
弦长问题常与
勾股定理结合：
半径 r、弦心距 d、半弦长构成直角三角形：r² = d² + (弦长/2)²
三、椭圆
1. 定义
平面内到两定点 F1、F2 的距离之和为常数 2a (2a > |F1F2|) 的点的轨迹叫椭圆。
|PF1| + |PF2| = 2a
2. 标准方程
焦点在 x 轴：x²/a² + y²/b² = 1 (a > b > 0)
焦点在 y 轴：y²/a² + x²/b² = 1 (a > b > 0)
其中 a² = b² + c²，c 为半焦距。
3. 几何性质
| 性质 | 焦点在 x 轴 | 焦点在 y 轴 |
|---|
| 焦点 | F1(-c, 0)，F2(c, 0) | F1(0, -c)，F2(0, c) |
| 顶点 | (±a, 0)，(0, ±b) | (0, ±a)，(±b, 0) |
| 长轴 | 2a（x 轴） | 2a（y 轴） |
| 短轴 | 2b（y 轴） | 2b（x 轴） |
| 离心率 e | e = c/a (0 < e < 1)，e 越接近 1 椭圆越扁，越接近 0 椭圆越圆 |
| 准线 | x = ±a²/c | y = ±a²/c |
| 通径 | 过焦点垂直于长轴的弦长：2b²/a |
记忆口诀
"椭圆 a 最大，b、c 勾股差；
离心率 e 看扁圆，准线 a² 除以 c"
重点
椭圆中恒有
a > b > 0，且
a² = b² + c²。
离心率 e = c/a 是椭圆最重要的几何量。
例题
椭圆 x²/25 + y²/16 = 1，求长轴长、短轴长、焦点坐标、离心率。
a² = 25 ⇒ a = 5，b² = 16 ⇒ b = 4
c² = a² - b² = 9 ⇒ c = 3
长轴长 2a = 10，短轴长 2b = 8
焦点 F(±3, 0)，离心率 e = c/a = 3/5
四、双曲线
1. 定义
平面内到两定点 F1、F2 的距离之差的绝对值为常数 2a (0 < 2a < |F1F2|) 的点的轨迹叫双曲线。
||PF1| - |PF2|| = 2a
2. 标准方程
焦点在 x 轴：x²/a² - y²/b² = 1 (a > 0, b > 0)
焦点在 y 轴：y²/a² - x²/b² = 1 (a > 0, b > 0)
其中 c² = a² + b²，c 为半焦距。
3. 几何性质
| 性质 | 焦点在 x 轴 | 焦点在 y 轴 |
|---|
| 焦点 | F1(-c, 0)，F2(c, 0) | F1(0, -c)，F2(0, c) |
| 顶点 | (±a, 0) | (0, ±a) |
| 实轴 | 2a（x 轴） | 2a（y 轴） |
| 虚轴 | 2b（y 轴） | 2b（x 轴） |
| 渐近线 | y = ±(b/a)x | y = ±(a/b)x |
| 离心率 e | e = c/a (e > 1) |
4. 等轴双曲线
定义：a = b 的双曲线叫等轴双曲线。
方程：x² - y² = ±a²
渐近线：y = ±x（互相垂直）
离心率：e = √2
易错点
椭圆与双曲线的区别：
椭圆：a² = b² + c²，0 < e < 1
双曲线：c² = a² + b²，e > 1
注意区分
a 最大（椭圆）与
c 最大（双曲线）！
高频考点
双曲线的
渐近线是考试重点。
求渐近线的方法：将方程右边的常数改为 0，再化简。
例：x²/a² - y²/b² = 1 ⇒ x²/a² - y²/b² = 0 ⇒ y = ±(b/a)x
五、抛物线
1. 定义
平面内到一个定点 F（焦点）和一条定直线 l（准线）距离相等的点的轨迹叫抛物线。
|PF| = 点 P 到准线 l 的距离
2. 标准方程的四种形式
| 标准方程 | 开口方向 | 焦点坐标 | 准线方程 |
|---|
| y² = 2px (p > 0) | 向右 | (p/2, 0) | x = -p/2 |
| y² = -2px (p > 0) | 向左 | (-p/2, 0) | x = p/2 |
| x² = 2py (p > 0) | 向上 | (0, p/2) | y = -p/2 |
| x² = -2py (p > 0) | 向下 | (0, -p/2) | y = p/2 |
记忆口诀
"一次项定轴，系数正负定方向；
焦点坐标看 p/2，准线方程换个号"
3. 几何性质
| 性质 | y² = 2px | y² = -2px | x² = 2py | x² = -2py |
|---|
| 顶点 | 原点 O(0, 0) |
| 对称轴 | x 轴 | x 轴 | y 轴 | y 轴 |
| 焦点 | (p/2, 0) | (-p/2, 0) | (0, p/2) | (0, -p/2) |
| 准线 | x = -p/2 | x = p/2 | y = -p/2 | y = p/2 |
| 离心率 e | e = 1 |
| 通径 | 2p（过焦点垂直于对称轴的弦长） |
重点
抛物线离心率
e = 1 是定值，区别于椭圆 (0 < e < 1) 和双曲线 (e > 1)。
p 的几何意义是焦点到准线的距离，p > 0 恒成立。
4. 焦点弦性质
以抛物线 y² = 2px (p > 0) 为例，过焦点 F(p/2, 0) 的弦 AB：
设 A(x1, y1)，B(x2, y2)
性质：
① x1 · x2 = p²/4，y1 · y2 = -p²
② |AB| = x1 + x2 + p
③ 以 AB 为直径的圆与准线相切
高频考点
焦点弦的性质是抛物线考查的
核心内容，
尤其是 x
1x
2 = p²/4 和 |AB| = x
1 + x
2 + p 这两个结论。
六、直线与圆锥曲线的位置关系
1. 联立与判别式法
将直线方程 y = kx + m 代入圆锥曲线方程，消去 y 得到关于 x 的一元二次方程。
设联立后的一元二次方程为 ax² + bx + c = 0，则：
Δ > 0 ⇒ 直线与曲线相交（2 个交点）
Δ = 0 ⇒ 直线与曲线相切（1 个交点）
Δ < 0 ⇒ 直线与曲线相离（无交点）
易错点
对于双曲线，当直线与渐近线平行时，联立后的二次项系数为 0，此时只有 1 个交点（非相切）。
对于抛物线，当直线与对称轴平行时，也只有 1 个交点（非相切）。
2. 弦长公式
设直线与圆锥曲线交于 A(x1, y1)、B(x2, y2)：
弦长公式：
|AB| = √(1 + k²) · |x1 - x2|
= √(1 + 1/k²) · |y1 - y2|
= √(1 + k²) · √(Δ) / |a|
3. 中点弦与点差法
点差法步骤：
设弦两端点 A(x1, y1)、B(x2, y2)，中点 M(x0, y0)
① 将 A、B 代入曲线方程
② 两式相减，利用平方差公式
③ 得到斜率 k = -(b²x0) / (a²y0)（椭圆为例）
重点
点差法核心结论：
椭圆 x²/a² + y²/b² = 1 中，中点弦斜率 k = -b²x
0 / (a²y
0)
双曲线 x²/a² - y²/b² = 1 中，k = b²x
0 / (a²y
0)
抛物线 y² = 2px 中，k = p / y
0
4. 韦达定理的应用
联立直线与圆锥曲线后，利用韦达定理可直接得到 x1 + x2 和 x1x2，进而可求：
- 弦长 — 用弦长公式
- 中点坐标 — x0 = (x1 + x2)/2
- 向量数量积 — x1x2 + y1y2
- 三角形面积 — 结合坐标公式
例题
已知直线 y = x + 1 与椭圆 x²/4 + y²/3 = 1 相交于 A、B 两点，求弦长 |AB|。
联立：x²/4 + (x+1)²/3 = 1
整理得：7x² + 8x - 8 = 0
Δ = 64 + 224 = 288
|AB| = √(1+1²) · √(288) / 7 = √2 · 12√2 / 7 = 24/7
七、轨迹方程
1. 直接法
直接设动点坐标为 (x, y)，根据题设条件列出等量关系式，化简即得轨迹方程。
步骤：
① 建系 — 建立适当的坐标系
② 设点 — 设动点 P(x, y)
③ 列式 — 根据条件列出等量关系
④ 化简 — 整理得轨迹方程
⑤ 检验 — 剔除不满足条件的点
2. 定义法
若动点轨迹满足某种已知曲线的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），直接写出标准方程。
记忆口诀
"和定椭圆差定双，到定等距抛物线，
到定等径是圆，先定类型再求参"
3. 代入法（相关点法）
若动点 P(x, y) 依赖于另一已知曲线上的点 Q(x0, y0) 运动，用 x、y 表示 x0、y0，代入 Q 的轨迹方程。
步骤：
① 设动点 P(x, y)，相关点 Q(x0, y0)
② 将 x0、y0 用 x、y 表示
③ 代入 Q 满足的曲线方程
④ 化简得 P 的轨迹方程
4. 参数法
引入参数 t，将动点坐标 x、y 分别表示为参数 t 的函数，再消去参数 t。
形式：
x = f(t)，y = g(t) ⇒ 消去 t 得 x、y 的关系式
5. 交轨法
求两条动直线交点的轨迹，分别写出两动直线方程（含参数），联立消去参数即得交点轨迹方程。
重点
轨迹方程问题在教师招聘考试中常以
解答题形式出现。
解题关键是：
先判断适合哪种方法，再按步骤求解。
最后务必
检验范围，剔除不满足条件的点。
高频考点
轨迹方程方法的选择原则：
① 有明显几何关系 ⇒
直接法
② 符合圆锥曲线定义 ⇒
定义法
③ 动点随已知曲线上点运动 ⇒
代入法
④ 动点由参数决定 ⇒
参数法
例题
已知点 A(-2, 0)、B(2, 0)，动点 P 满足 |PA| + |PB| = 6，求 P 的轨迹方程。
由定义法，|PA| + |PB| = 6 > |AB| = 4
⇒ P 点轨迹是以 A、B 为焦点的椭圆
2a = 6 ⇒ a = 3，c = 2
b² = a² - c² = 9 - 4 = 5
⇒ 轨迹方程为 x²/9 + y²/5 = 1