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数学公式大全
📊 知识速查
数学公式大全
代数 + 几何 + 概率统计 + 大学数学基础
高频考点速查手册
全部
代数
几何
概率统计
大学数学基础
📖 代数模块
（10 类）
二次函数
高频
f(x) = a(x - h)² + k （顶点式）
f(x) = ax² + bx + c （一般式）
f(x) = a(x - x₁)(x - x₂) （两根式）
对称轴：
x = -b / 2a
| 顶点：
(-b/2a, (4ac-b²)/4a)
⚠ 高频考点
二次函数图像与系数 a、b、c 的关系；顶点坐标与最值问题
指数运算
a^m · a^n = a^(m+n)
a^m ÷ a^n = a^(m-n) （a ≠ 0）
(a^m)^n = a^(mn)
(ab)^n = a^n · b^n
a^(-n) = 1 / a^n （a ≠ 0）
a^0 = 1 （a ≠ 0）
a^(m/n) = ⁿ√(a^m) （a ≥ 0）
对数运算
高频
logₐ(MN) = logₐM + logₐN
logₐ(M/N) = logₐM - logₐN
logₐ(M^n) = n · logₐM
logₐb = logₓb / logₓa （换底公式）
ln(MN) = lnM + lnN （自然对数）
常用结论：
logₐ1 = 0
、
logₐa = 1
、
a^(logₐN) = N
⚠ 高频考点
换底公式的应用、对数与指数的互化
导数公式
高频
(x^n)' = nx^(n-1)
(sinx)' = cosx
(cosx)' = -sinx
(e^x)' = e^x
(lnx)' = 1/x
(a^x)' = a^x · lna
(logₐx)' = 1/(x · lna)
(tanx)' = sec²x
求导法则：
(u ± v)' = u' ± v'
(uv)' = u'v + uv'
(u/v)' = (u'v - uv')/v²
⚠ 高频考点
复合函数求导（链式法则）、切线方程、极值判定
三角函数
超高频
sin²θ + cos²θ = 1
1 + tan²θ = sec²θ | 1 + cot²θ = csc²θ
sin(α ± β) = sinα cosβ ± cosα sinβ （和差角）
cos(α ± β) = cosα cosβ −/+ sinα sinβ
tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanα tanβ)
sin2α = 2 sinα cosα （倍角公式）
cos2α = cos²α - sin²α = 2 cos²α - 1 = 1 - 2 sin²α
a·sinθ + b·cosθ = √(a² + b²) · sin(θ + φ) （辅助角公式）
其中
tanφ = b/a
，φ 所在象限由 (a, b) 决定
⚠ 高频考点
辅助角公式化简、倍角公式恒等变换、三角函数图像与性质
解三角形
超高频
a / sinA = b / sinB = c / sinC = 2R （正弦定理）
a² = b² + c² - 2bc · cosA （余弦定理）
S = ½ bc · sinA = ½ ab · sinC = ½ ac · sinB
R 为外接圆半径；海伦公式：
S = √[s(s-a)(s-b)(s-c)]
，s = (a+b+c)/2
⚠ 高频考点
正余弦定理的选择与边角互化、面积公式、取值范围问题
等差数列
高频
aₙ = a₁ + (n - 1)d （通项公式）
Sₙ = n(a₁ + aₙ) / 2 = n·a₁ + n(n-1)d / 2 （前 n 项和）
等差中项：
2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁
| 若 m+n = p+q，则
aₘ + aₙ = aₚ + a_q
等比数列
高频
aₙ = a₁ · q^(n-1) （通项公式，q ≠ 0）
Sₙ = a₁(1 - q^n) / (1 - q) = a₁(q^n - 1) / (q - 1) （q ≠ 1）
Sₙ = n · a₁ （q = 1）
等比中项：
aₙ² = aₙ₋₁ · aₙ₊₁
| 若 m+n = p+q，则
aₘ · aₙ = aₚ · a_q
⚠ 高频考点
等差等比数列的判定与证明、错位相减法求和、裂项相消法
向量
高频
a · b = |a| · |b| · cosθ （数量积定义）
a · b = x₁x₂ + y₁y₂ （坐标形式）
|a| = √(x² + y²) （模长）
cosθ = (a · b) / (|a| · |b|) （夹角公式）
平行：
a ∥ b ⇒ x₁y₂ - x₂y₁ = 0
| 垂直：
a ⟂ b ⇒ x₁x₂ + y₁y₂ = 0
基本不等式
超高频
a + b ≥ 2√(ab) （a ≥ 0, b ≥ 0）
a² + b² ≥ 2ab
(a + b) / 2 ≥ √(ab) （算术-几何平均不等式）
取等条件：
a = b
| 常用变形：
ab ≤ [(a+b)/2]²
⚠ 高频考点
"1" 的代换、配凑法、分离常数法求最值
📍 几何模块
（11 类）
点到直线距离
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)
点 P(x₀, y₀) 到直线
Ax + By + C = 0
的距离
两平行线距离
d = |C₁ - C₂| / √(A² + B²)
两条平行直线
Ax + By + C₁ = 0
与
Ax + By + C₂ = 0
之间的距离
圆
高频
(x - a)² + (y - b)² = r² （标准方程）
x² + y² + Dx + Ey + F = 0 （一般方程）
圆心：
(-D/2, -E/2)
| 半径：
r = ½√(D² + E² - 4F)
⚠ 高频考点
直线与圆的位置关系（相切/d = r、相交/d < r、相离/d > r）
椭圆
超高频
x² / a² + y² / b² = 1 （a > b > 0）
c² = a² - b² | 离心率 e = c / a （0 < e < 1）
焦点：
F₁(-c, 0), F₂(c, 0)
| 顶点：
(±a, 0), (0, ±b)
准线：
x = ±a²/c
| 通径长：
2b²/a
⚠ 高频考点
椭圆定义（|PF₁| + |PF₂| = 2a）、离心率计算、弦长问题
双曲线
高频
x² / a² - y² / b² = 1 （a > 0, b > 0）
c² = a² + b² | 离心率 e = c / a （e > 1）
渐近线：y = ±(b / a) · x
焦点：
F₁(-c, 0), F₂(c, 0)
| 准线：
x = ±a²/c
⚠ 高频考点
双曲线定义（||PF₁| - |PF₂|| = 2a）、渐近线方程、离心率
抛物线
超高频
y² = 2px （p > 0，标准方程）
焦点：
F(p/2, 0)
| 准线：
x = -p/2
四种形式对比：
y² = 2px ⇒ 焦点 (p/2, 0) 准线 x = -p/2
y² = -2px ⇒ 焦点 (-p/2, 0) 准线 x = p/2
x² = 2py ⇒ 焦点 (0, p/2) 准线 y = -p/2
x² = -2py ⇒ 焦点 (0, -p/2) 准线 y = p/2
⚠ 高频考点
抛物线定义（|PF| = d 到准线距离）、焦点弦性质、弦长问题
弦长公式
高频
|AB| = √(1 + k²) · |x₁ - x₂|
|AB| = √(1 + 1/k²) · |y₁ - y₂| （k ≠ 0）
其中 k 为直线斜率，(x₁, y₁)、(x₂, y₂) 为直线与圆锥曲线交点坐标
利用韦达定理：
|AB| = √(1+k²) · √[(x₁+x₂)² - 4x₁x₂]
中点弦（点差法）
k = -b²x₀ / (a²y₀) （椭圆中点弦斜率）
k = b²x₀ / (a²y₀) （双曲线中点弦斜率）
设弦中点 P(x₀, y₀)，利用点差法推导，适用于椭圆、双曲线、抛物线
⚠ 高频考点
点差法三步：设点 → 代入作差 → 求斜率；注意判别式 Δ > 0 验证
空间几何体体积
高频
V_柱 = S · h （柱体体积：底面积 × 高）
V_锥 = S · h / 3 （锥体体积：底面积 × 高 ÷ 3）
V_球 = 4πR³ / 3 （球体体积）
V_台 = (h/3) · (S₁ + S₂ + √(S₁S₂)) （台体体积）
表面积公式
S_球 = 4πR² （球体表面积）
S_侧 = 2πrh （圆柱侧面积）
S_侧 = πrl （圆锥侧面积）
S_侧 = π(r₁ + r₂)l （圆台侧面积）
l 为母线长，r₁、r₂ 为上下底面半径
📊 概率统计模块
（8 类）
排列与组合
超高频
A(n, m) = n! / (n - m)! （排列数）
C(n, m) = n! / [m! · (n - m)!] （组合数）
性质：
C(n, m) = C(n, n-m)
|
C(n, m) + C(n, m-1) = C(n+1, m)
⚠ 高频考点
相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、定序问题倍缩法
二项式定理
高频
(a + b)^n = Σ C(n, r) · a^(n-r) · b^r
T_(r+1) = C(n, r) · a^(n-r) · b^r （通项公式）
二项式系数之和：
C(n,0) + C(n,1) + ... + C(n,n) = 2^n
奇数项系数和 = 偶数项系数和 =
2^(n-1)
古典概型
P(A) = m / n
其中 n 为基本事件总数，m 为事件 A 包含的基本事件数
互斥事件：
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
| 对立事件：
P(Ā) = 1 - P(A)
独立事件：
P(AB) = P(A) · P(B)
数学期望
超高频
E(X) = Σ x_i · p_i （离散型随机变量期望）
E(aX + b) = a · E(X) + b （线性性质）
E(X + Y) = E(X) + E(Y) （可加性）
若 X、Y 独立：
E(XY) = E(X) · E(Y)
方差
高频
D(X) = E(X²) - [E(X)]² （方差计算公式）
D(aX + b) = a² · D(X) （线性性质）
σ = √D(X) （标准差）
方差意义：衡量随机变量与其期望的偏离程度，
方差越大，波动越大
二项分布
超高频
X ~ B(n, p) （X 服从二项分布）
P(X = k) = C(n, k) · p^k · (1-p)^(n-k) （k = 0, 1, ..., n）
E(X) = n · p | D(X) = n · p · (1-p)
⚠ 高频考点
二项分布与超几何分布的区别、np ≥ 5 且 n(1-p) ≥ 5 时可用正态近似
正态分布
高频
X ~ N(μ, σ²) （正态分布记号）
f(x) = 1/[σ√(2π)] · e^[-(x-μ)²/(2σ²)] （概率密度函数）
3σ 原则（标准正态分布）：
P(μ-σ < X < μ+σ) ≈ 0.6827
P(μ-2σ < X < μ+2σ) ≈ 0.9545
P(μ-3σ < X < μ+3σ) ≈ 0.9973
⚠ 高频考点
正态分布曲线对称性、标准化变换、3σ 原则的应用
🎓 大学数学基础
（3 类）
极限
高频
lim(x→0) sinx / x = 1 （第一个重要极限）
lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e （第二个重要极限）
lim(x→0) (1 + x)^(1/x) = e
常用等价无穷小（x→0）：
sinx ~ x, tanx ~ x, arcsinx ~ x, arctanx ~ x
ln(1+x) ~ x, e^x - 1 ~ x, 1 - cosx ~ x²/2
(1+x)^α - 1 ~ αx
⚠ 高频考点
等价无穷小代换求极限、洛必达法则、夹逼准则
连续与导数定义
高频
f(x) 在 x₀ 连续：lim(x→x₀) f(x) = f(x₀)
f'(x₀) = lim(Δx→0) [f(x₀+Δx) - f(x₀)] / Δx （导数定义）
f'(x₀) = lim(x→x₀) [f(x) - f(x₀)] / (x - x₀)
可导条件：左导数 = 右导数；可导必连续，连续不一定可导
⚠ 高频考点
分段函数可导性讨论、导数定义求极限、切线法线方程
积分公式表
高频
∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C
∫1/x dx = ln|x| + C
∫e^x dx = e^x + C
∫a^x dx = a^x/lna + C
∫sinx dx = -cosx + C
∫cosx dx = sinx + C
∫sec²x dx = tanx + C
∫csc²x dx = -cotx + C
∫1/(1+x²) dx = arctanx + C
∫1/√(1-x²) dx = arcsinx + C
牛顿-莱布尼茨公式：
∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) - F(a)
分部积分法：
∫ u dv = uv - ∫ v du
⚠ 高频考点
换元积分法、分部积分法、定积分几何应用（面积、体积）